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By Rached Mneimné

    L’auteur exprime avec ce livre une belief résolument novatrice de l’enseignement de l. a. géométrie. Il affirme sa conviction que cet enseignement ne peut qu’évoluer dans le sens que son exposé indique : position grandissante donnée, dès le finest cycle, à los angeles idea de groupes opérant ; nécessité de fournir à l’apprenti mathématicien des moyens nouveaux pour affronter l. a. prolifération des connaissances et los angeles complexité des nouvelles techniques ; priorité au travail de prospection et de réflexion à partir d’une « situation » donnée et abandon du traditionnel exposé magistral linéaire.
    Rompant avec certaines classifications habituelles en mathématiques, R. Mneimné suggest un parcours varié, guidé par los angeles concept centrale de l’ouvrage : celle d’action de groupe. Du birapport aux groupes de Sylow, des triquadrangles harmoniques aux orbites nilpotentes, des groupes algébriques affines à los angeles famille des sous-groupes de GL(2, F₃) au grand complet, de l. a. réduite de Jordan aux représentations de sl(2, ℂ), le lecteur n’apprendra pas seulement de belles mathématiques, il se convaincra de l. a. vertu unifiante et organisatrice de l’idée de groupe opérant. Il se rendra compte, de surcroît, qu’en travaillant le corps du texte et ses plus de deux cents exercices, il a appris beaucoup d’algèbre linéaire et même de géométrie algébrique élémentaire.
    Affranchi de toute contrainte de programme ou de niveau, l’auteur a réuni ici une matière suffisamment variée pour intéresser l’étudiant de maîtrise, l’agrégatif, le bon taupin, le futur chercheur, le professeur. Tous devraient trouver dans ce livre une observe de bonheur mathématique. Si le « principe de symétrie » est une des assets de los angeles beauté, les activities de groupes sont une des façons savantes de parler de cette symétrie, et de mieux los angeles comprendre.

    Rached Mneimné a été longtemps assistant à l’E.N.S. de Saint-Cloud où il a notamment assuré l. a. préparation à l’agrégation, accompagnant ainsi une quinzaine de promotions d’où sont sortis de nombreux mathématiciens de expertise. Il est coauteur avec F. Testard d’un ouvrage sur les groupes de Lie qui est devenu un classique. Il est actuellement maître de conférences à l’Université Paris VII-Denis Diderot.

===== desk des matières

Préface
Table des Matières
Notations

0 activities de groupes
    0.1 Introduction
    0.2 Quelques mots clés
    0.3 Exemples fondamentaux
    0.4 Premières manipulations
    0.5 element topologique
    0.6 point différentiel
    0.7 Sous l’angle de los angeles géométrie algébrique
    0.8 Représentations linéaires
    0.9 Produits semi-directs de groupes
    0.10 Espaces symétriques
    0.11 Exercices

0-A Le groupe quaternionique ℍ₈ et le groupe SL(2, F₃)
    0-A.1 Introduction
    0-A.2 development du groupe ℍ₈
    0-A.3 Les matrices de SL(2, F₃)
    0-A.4 Les groupes d’automorphismes de ℍ₈ et de SL(2, F₃)
    0-A.5 constitution des 2-Sylow de GL(2, F₃)
    0-A.6 Exercices

0-B Le birapport
    0-B.1 Introduction
    0-B.2 Définition et premières propriétés
    0-B.3 motion du groupe S₄ sur le birapport
    0-B.4 Expression classique du birapport
    0-B.5 Une S₄-compactification de bar{ℝ} − {0, 1, ∞}
    0-B.6 Un peu de géométrie plane
    0-B.7 l. a. conique fondamentale
    0-B.8 Involutions et groupe circulaire
    0-B.9 Retour sur le birapport
    0-B.10 Le complexe octaédral
    0-B.11 Exercices

0-C sessions de similitude
    0-C.1 Introduction
    0-C.2 Premières manipulations
    0-C.3 Le cas n = 8
    0-C.4 Les tableaux de Young
    0-C.5 Le cône nilpotent
    0-C.6 Réduite de Jordan, théorème de Jacobson-Morozov et représentations de sl(2, K)
    0-C.7 Le théorème de Jacobson-Morozov dans les algèbres de Lie semi-simples
    0-C.8 Appendice 1 — Quadriques affines et periods de similitude dans M(2, ℝ)
    0-C.9 Appendice 2 — L’algèbre de Lie sl(2, ℝ)
    0-C.10 Appendice three — Scholie informatique pour orbites nilpotentes
    0-C.11 Exercices

Bibliographie
Index

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Example text

REDUCTIVE ALGEBRAIC GROUPS 30 a finite set of polynomials F1 : : : Fn in AG . We may assume that each Fi is homogeneous of degree mi > 0. 1) for some homogeneous polynomials P i of degree m mi . Now consider the A defined by the formula operator av : A 2 ; ! 1) we get F = av(P1)F1 + + av(Pn)Fn: By induction we can assume that each invariant homogeneous polynomial of degree < m can be expressed as a polynomial in Fi ’s. Since av(Pi ) is homogeneous of degree < m, we are done. 2. (Gordan–Hilbert) The algebra of invariants Pol(Pol d (V ))SL(V ) is finitely generated over k .

It is not difficult to see that the Pl¨ucker equations define set theoretically the Grassmann varieties in their Pl¨ucker embedding (see, for example, [40]). 5 describes the homogeneous ideal of the Grassmannian. As far as I know the only textbook in algebraic geometry which contains a proof of this fact is [48]. We refer to [33] for another proof based on the representation theory. 2 Let be the omega-operator in the polynomial ring k Mat r r ]. (1 ; Dr );r;1 , Dri (iii) the function f = 1 i=0 1 2!

We call such an action a rational action or, better, a regular action. In particular, a linear representation : G GL(V ) = GLn (k ) will be assumed to be given by regular functions on the affine algebraic variety G. Such linear representations are called rational representations. Let an affine algebraic group G act on an affine variety X = Spm(A). This action can be described in terms of the coaction homomorphism ! : A ! O(G) A where O (G) is the coordinate ring of G. It satisfies a bunch of axioms which are “dual” to the usual axioms of an action; we leave their statements to the reader.

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