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By Agricola I., Friedrich T.

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Die Abbildung h' 0 (hD- 1 : h , (U' n Ul) ---+ h' (U' n Ul) heißt der Kartenübergang von der einen zur anderen Karte. Die Mengen h i (U' n Ul) und h' (U' n Ul) sind offene Teilmengen des Koordinatenraums R k und die Kartenübergangsfunktion h' 0 (hl)-l ist offensichtlich ein Diffeomorphismus. U* = Ui Der Begriff der Dimension bedarf für Mannigfaltigkeiten ebenfalls einer Erläuterung. z abgebildet, so stimmen die Dimensionen überein, k = l. Unter der zusätzlichen Voraussetzung der Differenzierbarkeit, die für uns immer erfüllt ist, ist dies einfach zu beweisen: Das Differential eines Diffeomorphismus in einem beliebigen Punkt liefert einen linearen Isomorphismus zwischen den Tangentialräumen TxR k und TyR und daraus folgt sofort k = I.

Nach Voraussetzung ist stetig und somit existiert eine offene Menge 0 c Rn mit t:' {fra) : (a,O) E V,} f(W) n O. = Nun betrachten wir die Mengen ~ := V2 nO und V, = g -1(V2). Dann gilt V2 n M = V2 n O n M = {g(a,O): (a,O) E V,} und wir erhalten h(~ n M) = g-1(V2 n M) = V, n (R k x {O}). Die Bedingung an eine Mannigfaltigkeit ist also in jedem Punkte der Menge M erfüllt. 0 Wir erweitern jetzt den Mannigfaltigkeitsbegriff dahingehend, dass wir auch Randpunkte zulassen werden. Dabei beschränken wir uns auf den Fall, dass der Rand seinerseits eine glatte, randlose Mannigfaltigkeit ist (keine Ecken oder Kanten).

Die Menge aller Randpunkte bezeichnet man mit iJM und nennt sie den Rand von M. Satz 3. Sei Meine k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist der Rand iJM entweder leer oder eine glatte, (k - 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand, iJiJM = 0. Beweis. Wir fixieren einen Randpunkt x E iJM und wählen offene Mengen x E U C rn;n und V C rn;n mit h(U n M) = V n (lHI k x {O}) . Für jeden weiteren Randpunkt x' E U n iJM muss nach der zuvor angestellten Überlegung die k-te Komponente von h in x' verschwinden, hk(x') = o.

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